逆行列

1. 「行列」に数値を入力します。
2. ※「行」「列」を追加することができます。
3. ※正方行列でないと逆行列は計算できません。
4. 自動的に「逆行列」が計算されます。

逆行列とは

逆行列とは、数学における線形代数の概念で、正方行列（行と列の数が同じ行列）において特定の条件を満たす行列です。逆行列は、以下のように定義されます。

逆行列の定義

正方行列Aに対して、行列Bが存在し、以下の関係を満たす場合、行列Bを行列Aの逆行列と呼びます。

A⋅B=B⋅A=I

ここで、Iは単位行列（対角成分が全て1で、それ以外が0の行列）を表します。

行列Aの逆行列は通常A₋₁と記されます。

逆行列の特徴

逆行列が存在する条件

行列Aが正則行列（行列式が0でない行列）である場合に限り、逆行列が存在します。

非正則行列（行列式が0）には逆行列が存在しません。

逆行列の性質

1. (A^-1)^-1 = A: 逆行列の逆行列は元の行列。

2. (A · B)^-1 = B^-1 · A^-1: 行列の積の逆行列は、各行列の逆行列の積で順序が逆になる。

3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T: 転置行列の逆行列は、逆行列の転置行列。

4. A^-1 · A = A · A^-1 = I: 行列とその逆行列の積は単位行列。

注意点

逆行列を計算する際には、以下の点に注意が必要です。

行列が正方行列であること。

行列式が0でないこと（正則行列であること）。

高次元の行列では計算が複雑になるため、数値的手法やソフトウェアを使用するのが一般的です。

逆行列は数学や科学技術分野で重要な役割を果たし、さまざまな応用があります。

逆行列を計算するには、以下の手順を使用します:

1. 行列の判定

まず、逆行列が存在するためには、元の行列 A が正方行列である必要があります。

2. 行列式の計算

次に、行列式 (determinant) を計算します。行列 A の行列式を det(A) とします。

例: 2×2行列の場合

A = [ a₁₁ a₁₂ ]
       [ a₂₁ a₂₂ ]

行列式は次のように計算します:

det(A) = a₁₁ · a₂₂ - a₁₂ · a₂₁

もし det(A) = 0 の場合、逆行列は存在しません。

3. 余因子行列の計算

行列 A の各要素に対して余因子を計算します。

余因子とは:

行列のある要素を含む行と列を除いた小行列 (minor) の行列式に符号を付けたものです。

4. 随伴行列 (転置行列) の計算

計算した余因子を配置して行列を作り、それを転置して随伴行列を求めます。

5. 逆行列の計算

最終的に、逆行列 A^-1 は次のように計算されます:

A^-1 = (1 / det(A)) · adj(A)

ここで adj(A) は随伴行列です。

例: 2×2行列の逆行列

行列 A:

A = [ 2 3 ]
       [ 1 4 ]

1. 行列式を計算します:

det(A) = 2 · 4 - 3 · 1 = 8 - 3 = 5

2. 余因子行列を計算します:

adj(A) = [ 4 -3 ]
          [-1 2 ]

3. 逆行列を求めます:

A^-1 = (1 / 5) · adj(A)

A^-1 = [ 4/5 -3/5 ]
            [-1/5 2/5 ]

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